Calculer Le Discriminant Δ D'un Polynôme Du Second Degré Et Étudier Son Signe

May 15, 2024, 5:24 pm

a < 0 donc la parabole est tournée vers le bas, avec x 2 = –4 L'ensemble solution de l'inéquation est donc]–∞; –4[ ∪]5; +∞[. b. Autres cas Que f soit sans racine (comme f ( x) = x ² + 1 par exemple) ou avec une seule racine (appelée racine « double », comme f ( x) = 5( x – 2)² par exemple), la parabole va rester du même côté de l'axe des abscisses, sans le toucher dans le premier cas, avec un point de contact unique dans le deuxième cas (en x = 2 si par exemple). Conséquence: le signe de f ne change pas sur, et f est donc du signe de a. Résoudre 3( x – 2)² ≥ 0: Posons f ( x) = 3( x – 2)², f a une seule racine: 2, et pour f on a: a = 3 > 0. Signe d un polynome du second degrés. Ainsi f est positive sur, l'ensemble des solutions est donc.

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Sommaire – Page 1ère Spé-Maths 9. 1. Courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$. Définition 1. Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par: $P(x)=ax^2+bx+c$. Alors, la courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)$ (orthogonal suffit), s'appelle une parabole. Il existe deux cas de paraboles suivant le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Ce qui nous donne le théorème suivant: Théorème 8. Fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation - Maxicours. Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. La courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath} \right)$ est une parabole ayant deux branches et un sommet $S(\alpha; \beta)$ $\bullet$ $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$; $\bullet$ La droite (parallèle à l'axe des ordonnées) d'équation $x=\alpha$ est un axe de symétrie de la parabole; $\bullet$ Si $a>0$, la parabole dirige ses branches vers le haut $\smile$; c'est-à-dire vers les $y$ positifs.

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3. Signe d'un polynôme du second degré On peut déterminer le signe d'un polynôme du second degré rapidement à partir de sa forme factorisée, en ayant en tête l'image mentale de sa courbe représentative. a. Cas le plus fréquent: 2 racines distinctes Soit f une fonction polynôme de degré 2 telle qu'il existe 3 réels a, x 1 et x 2 tels que f ( x) = a ( x – x 1)( x – x 2). Signe d un polynome du second degré 8. Il y a 2 possibilités pour la parabole représentant f: Si a > 0 La parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pour x = x 1 et pour x = x 2. On sait ainsi que: f ( x) ≤ 0 pour tout réel x dans [ x 1, x 2] f ( x) ≥ 0 pour tout réel x dans]–∞; x 1] ∪ [ x 2; +∞[ Résoudre 3( x + 4)( x – 5) < 0: On reconnait la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = 3. a > 0 donc la parabole est tournée vers le haut, avec x 2 = –4 et x 1 = 5. L'ensemble solution de l'inéquation est donc [–4; 5]. Si a < 0 La parabole est tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pou x = x 1 Résoudre –3( x + 4)( x – 5) < 0: On reconnaît la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = –3.

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$\bullet$ Si $a<0$, la parabole dirige ses branches vers le bas $\frown$; c'est-à-dire vers les $y$ négatifs. Éléments caractéristiques de ${\cal P}$ suivant la forme de l'expression algébrique de $P(x)$. Théorème 9. $\bullet$ Si on connaît la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors, $S(\alpha; \beta)$, avec: $$\alpha=\dfrac{-b}{2a} \quad\textrm{et}\quad \beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme factorisée: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\neq 0$. Alors: $$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\quad\textrm{et}\quad\beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme canonique: $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq 0$. Signe d un polynome du second degré part. Alors: $$S(\alpha; \beta)$$ $\quad-$ Si $\beta=0$, alors $x_0=\alpha$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $S(x_0;0)$ $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, alors $P(x)$ garde un signe constant et ne se factorise pas. $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, alors $P(x)$ se factorise à l'aide de l'identité remarquable n°3. Sens de variation Théorème 10.

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Alors: $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. Tableaux de variations pour $a>0$ et $a<0$: 9. 2 Exemples Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes: $f(x)=2 x^2+5 x -3$; $\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole; $\quad$ b) Dresser le tableau de variation; $\quad$ c) Construire la courbe représentative $\cal P$. Corrigé. 1°) On considère la fonction polynôme suivante: $f(x)=2 x^2+5 x -3$. Calculer le discriminant Δ d'un polynôme du second degré et étudier son signe. On commence par identifier les coefficients: $a=2$, $b=5$ et $c=-3$. a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$. Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$. D'où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.

Taper les données Taper les nombres décimaux avec un point et non une virgule, exemple: taper 0. 65 au lieu de 0, 65 (indiquer le 0 avant le point). Ne pas laisser d'espace vide entre les caractères. Valeur a: Valeur b: Valeur c: Retour à la liste des calculs Des remarques, des suggestions! N'hésitez pas à nous contacter.